在关系R(A1，A2 ，A3) 和S(A2 ，A3 ，A4) 上进行

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第32题

知识点：连接（Join）五种基本的关系代数运算关系运算

关键词：关系表达式表达式章/节：关系数据库

关系运算，与该关系表达式等价的是(32)。
将该查询转换为等价的SQL语句如下：

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知识点讲解
· 连接（Join） · 五种基本的关系代数运算 · 关系运算

连接（Join）

连接分为θ连接、等值连接及自然连接三种。连接运算是从两个关系R和S的笛卡儿积中选取满足条件的元组。因此，可以认为笛卡儿积是无条件连接，其他的连接操作是有条件连接。θ连接

θ连接是从R与S的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组。其形式定义如下：

其中：'XθY'为连接的条件，θ是比较运算符，X和Y分别为R和S上度数相等，且可比的属性组。tⁿ［X］表示R中tⁿ元组的相应于属性X的一个分量。t^m［Y］表示S中t^m元组的相应于属性Y的一个分量。需要说明的是：

.θ连接也可以表示为：

其中：i=1，2，3，…，n，j=1，2，3，…，m，'iθj'的含义为从两个关系R和S中选取R的第i列和S的第j列之间满足θ运算的元组进行连接。

.θ连接可以由基本的关系运算笛卡儿积和选取运算导出。因此θ连接可表示为：

等值连接（equijoin）

当θ为“=”时，称之为等值连接，记为

。其形式定义如下：

自然连接（Natural join）

自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果集中将重复属性列去掉。

若tⁿ表示R关系的元组变量，t^m表示S关系的元组变量；R和S具有相同的属性组B，且B=（B₁，B₂，…，B_K）；并假定R关系的属性为A₁，A₂，…，A_n_-_k，B₁，B₂，…，B_k，S关系的属性为B₁，B₂，…，B_K，B_K₊₁，B_K₊₂，…，B_m；为S的元组变量t^m去掉重复属性B所组成的新的元组变量为

。自然连接可以记为

，其形式定义如下：

自然连接可以由基本的关系运算笛卡儿积和选取运算导出，因此自然连接可表示为：

特别需要说明的是：一般连接是从关系的水平方向运算，而自然连接不仅要从关系的水平方向，而且要从关系的垂直方向运算。因为自然连接要去掉重复属性，如果没有重复属性，那么自然连接就转化为笛卡儿积。

五种基本的关系代数运算

五种基本的关系代数运算包括并、差、笛卡儿积、投影和选择，其他运算可以通过基本的关系运算导出。

并（Union）

关系R与S具有相同的关系模式，即R与S的元数相同（结构相同）。关系R与S的并由属于R或属于S的元组构成的集合组成，记作R∪S，其形式定义如下，式中t为元组变量。

R∪S=｛t｜t∈R∨t∈S｝

差（Difference）

关系R与S具有相同的关系模式，关系R与S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合，记作R-S，其形式定义如下：

广义笛卡儿积（Extended Cartesian Product）

两个元数分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡儿积是一个（n+m）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组，记作R×S，其形式定义如下：

R×S=｛t｜t=<tⁿ，t^m>∧tⁿ∈R∧t^m∈S｝

如果R和S中有相同的属性名，可在属性名前加关系名作为限定，以示区别。若R有K₁个元组，S有K₂个元组，则R和S的广义笛卡儿积有K₁×K₂个元组。

注意：本教材中的<tⁿ，t^m>意为元组tⁿ和t^m拼接成的一个元组。

投影（Projection）

投影运算是从关系的垂直方向进行运算，在关系R中选择出若干属性列A组成新的关系，记作π_A（R），其形式定义如下：

πA（R）=｛t［A］｜t∈R｝

选择（Selection）

选择运算是从关系的水平方向进行运算，是从关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作σ_F（R），其形式定义如下：

σ_F（R）=｛t｜t∈R∧F（t）=True｝

其中，F中的运算对象是属性名（或列的序号）或常数，运算符是算术比较符（<、≤、>、≥、≠）和逻辑运算符（∧、∨、￢）。例如，σ_1≥6（R）表示选取R关系中第1个属性值大于等于第6个属性值的元组；σ_1≥'6'（R）表示选取R关系中第1个属性值大于6的元组。

关系运算

在3.4.1节的集合运算基础上，关系数据库还有一些专门的运算，主要有投影、选择、连接、除法和外连接。它们是关系代数最基本的操作，也是一个完备的操作集。在关系代数中，由五种基本代数操作经过有限次复合的式子称为关系代数运算表达式。表达式的运算结果仍是一个关系。我们可以用关系代数表达式表示各种数据查询和更新处理操作。

（1）投影。投影操作从关系R中选择出若干属性列组成新的关系，该操作对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序，再删去重复元组。记作：

π_A（R）≡{t[A]|t∈R}

其中A为R的属性列。

（2）选择。选择操作在关系R中选择满足给定条件的所有元组，记作：

σ_F（R）≡{t|t∈R∧F（t）=true}

其中F表示选择条件，是一个逻辑表达式（逻辑运算符+算术表达式）。选择运算是从行的角度进行的运算。

（3）θ连接。θ连接从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组记作：

其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ为“=”的连接，称作等值连接，记作：

如果两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉，则称为自然连接，记作：

（4）除法。设两个关系R和S的元数分别为r和s（设r>s>0），那么R÷S是一个（r-s）元的元组的集合。（R÷S）是满足下列条件的最大关系：其中每个元组t与S中每个元组u组成新元组<t，u>必在关系R中。其具体计算公式如下：

R÷S=π_{1，2，…，}_r_-_s（R）-π_{1，2，…，}_r_-_s（（π_{1，2，…，}_r_-_s（R）×S）-R）

（5）外联接。两个关系R和S进行自然连接时，选择两个关系R和S公共属性上相等的元组，去掉重复的属性列构成新关系。这样，关系R中的某些元组有可能在关系S中不存在公共属性值上相等的元组，造成关系R中这些元组的值在运算时舍弃了；同样关系S中的某些元组也可能舍弃。为此，扩充了关系运算左外连接、右外连接和完全外连接。