次最优的正交交换——离散余弦变换（DCT）-软考在线

次最优的正交交换——离散余弦变换（DCT）



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知识难度：

考试要求：熟悉

知识路径： > 多媒体数据压缩编码技术基础 > 变换编码 > 离散余弦变换编码 > 离散余弦变换编码

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DCT变换（Discrete Cosine Transform，离散余弦变换）是与傅里叶变换相关的一种变换，傅里叶变换后得到的数是一个复数，在计算时既要计算实数部分，又要计算虚数部分，计算量较大，而DCT变换只使用实数部分，简化了计算量，所以在图像领域得到了广泛的应用。

一维离散余弦变换的定义如下。

其中

式中F（u）是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量，u=1，2，…，N—1；f（x）是时域N点序列，x=1，2，…，N—1。

一维离散余弦反变换如下。

式中x，u=1，2,…,N—1。

二维离散余弦变换的变换公式为

其中

利用公式表示比较抽象，还有一种表示方法比较直观，就是利用矩阵表示。如果令N=4，那么将N带入一维解析式定义，可得如下展开式。

写成矩阵表示为

若定义［A］为变换矩阵，［F（u）］为变换系数矩阵，［f（x）］为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式。

［F（u）］=［A］［f（x）］

同理，可得到反变换展开式：

写成矩阵式：

即：

［f（x）］=［A］［F（u）］

二维离散余弦变换也可以写成矩阵式：

［F（u,v）］=［A］［f（x,y）］［A］′

［f（x,y）］=［A］′［F（u,v）］［A］

式中［f（x,y）］是空间数据阵列，［F（u,v）］是变换系数阵列，［A］是变换矩阵，［A］′是［A］的转置矩阵。

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