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数制及其转换



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知识难度：

考试要求：掌握

知识路径： > 计算机科学基础 > 数据的表示 > 数的表示 > 计算机中数据的表示

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按进位的方法进行计数，称为进位计数制。在采用进位计数制的数字系统中，如果只用r个基本符号来表示数值，则称其为r进制。每个数都可以用基数、系数和位数的形式来表示，即

N=m_n_-1Kⁿ^-1+m_n_-2Kⁿ^-2+…+m₀K⁰+m_-1K^-¹+m_-2K^-2+…

.基数（K）：是最大进位数（进制数），数制的规则是逢K进1。例如，十进制基数为10，六十进制（时间）的基数为60等。

.系数（m）：每个数位上的值，取值范围为0~K-1。例如，234中百位系数为2，十位系数为3，个位系数为4。

.位数（n）：各种进制数的个数。例如，十进制数234的位数为3，二进制数11010011的位数为8。

例如：(234)₁₀=2×10²+3×10¹+4×l0⁰（式中：m₂=2,m₁=3,m₀=4；K=10；n=3）。

显然，一个任意进制的数都可以按上述方法表示为其他进制的数。下表列出了计算机中常用的几种数制的对应关系。

计算机常用数制的对应关系

数制转换主要有以下几种。

1）r进制转换成十进制

方法：

a_n…a₁a₀·a-₁…a-_m(r)=a*rⁿ+…+a*r^l+a*r⁰+a*r^-¹+…+a*r^-^m

例如：

10101(B)=1×2⁴+1×2²+1×2⁰=21

101.11(B)=1×2²+1×2⁰+1×2^-1+l×2^-2=5.75

101(O)=1×8²+1×8⁰=65

71(O)=7×8¹+l×8⁰=57

101A(H)=1×l6³+1×l6¹+10×l6⁰=4122

2）十进制转换成r进制

方法：

.整数部分：除以r取余数，直到商为0，余数从右到左排列。

.小数部分：乘以r取整数，整数从左到右排列。

例如：

3）八进制和十六进制转换成二进制

方法：

.每一个八进制数对应二进制的三位。

.每一个十六进制数对应二进制的四位。

例如：

4）二进制转换成八进制和十六进制

方法：

.整数部分：从右向左进行分组。

.小数部分：从左向右进行分组。

.转换成八进制3位一组，不足补零。

.转换成十六进制4位一组，不足补零。

例如：

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