| 设有一个关系模式R（SNAME、CNAME、TNAME TADDRESS），其属性分别表示学生姓名、选修的课程名、任课教师姓名和任课教师地址。仔细分析一下，就会发现这个模式存在下列存储异常的问题。
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| （1）数据冗余：如果某门课程有100个学生选修，那么在R的关系中就要出现100个元组，这门课程的任课教师姓名和地址也随之重复出现100次。
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| （2）修改异常：由于上述冗余问题，当需要修改这个教师的地址时，就要修改100个元组中的地址值；否则就会出现地址值不一致的现象。
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| （3）插入异常：如果不知道听课学生名单，这个教师的任课情况和家庭地址就无法进入数据库；否则就要在学生姓名处插入空值。
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| （4）删除异常：如果某门课程的任课教师要更改，那么原来任课教师的地址将随之丢失。
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| 因此，关系模式R虽然只有四个属性，但却是性能很差的模式。如果把R分解成下列两个关系模式：R1（SNAME, CNAME）和R2（CNAME, TNAME, TADDRESS），则能消除上述的存储异常现象。
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| 为什么会产生这些异常呢？与关系模式属性值之间的联系直接有关。在模式R中，学生与课程有直接联系，教师与课程有直接联系，而教师与学生无直接联系，这就产生了模式R的存储异常。因此，模式设计强调“每个联系单独表达”是一条重要的设计原则，把R分解成R1和R2是符合这条原则的。
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| 设R（U）是属性U上的一个关系模式，X和Y是U的子集，r为R的任一关系，如果对于r中的任意两个元组u和v，只要有u[X]=v[X]，就有u[Y]=v[Y]，则称X函数决定Y，或称Y函数依赖于X，记为X→Y。
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| 从函数依赖的定义可以看出，如果有X→U在关系模式R（U）上成立，并且不存在X的任一真子集X′使X′→U成立，那么称X是R的一个候选键。也就是X值唯一决定关系中的元组。由此可见，函数依赖是键概念的推广，键是一种特殊的函数依赖。
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| 在R（U）中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X′，都有X′→Y不成立，则称Y对X完全函数依赖。若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖。
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| 在R（U）中，如果X→Y（Y不是X的真子集），且Y→X不成立，Y→Z，则称Z对X传递函数依赖。
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| 设U是关系模式R的属性集，F是R上成立的只涉及U中属性的FD集，则有以下三条推理规则：
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| （2）增广性：若X→Y在R上成立，且Z?U，则XZ→YZ在R上成立；
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| （3）传递性：若X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
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| 这里XZ、YZ等写法表示X∈Z，Y∈Z。上述三条推理规则是函数依赖的一个正确的和完备的推理系统。根据上述三条规则还可以推出其他三条常用的推理规则：
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| （1）并规则：若X→Y和X→Z在R上成立，则X→YZ在R上成立；
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| （2）分解规则：若X→Y在R上成立，且Z?Y，则X→Z在R上成立；
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| （3）伪传递规则：若X→Y和WY→Z在R上成立，则WX→Z在R上成立。
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| 在关系模式R（U，F）中为F所逻辑蕴含的函数依赖全体叫做F的闭包，记作F+。
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| 设F为属性集U上的一组函数依赖，X是U的子集，那么相对于F属性集X的闭包用X+表示，它是一个从F集使用推理规则推出的所有满足X→A的属性A的集合：
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| 如果G+=F+，就说函数依赖集F覆盖G（F是G的覆盖，或G是F的覆盖），或F与G等价。
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| 如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个极小函数依赖集，也称为最小依赖集或最小覆盖。
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| （2）F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；
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| （3）F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F-{X→A}∨{Z→A}与F等价。
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| （1）第一范式（1NF）：如果关系模式R的每个关系r的属性值都是不可分的原子值，那么称R是第一范式的模式，r是规范化的关系。关系数据库研究的关系都是规范化的关系。
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| （2）第二范式（2NF）：若关系模式R是1NF，且每个非主属性完全函数依赖于候选键，那么称R是2NF模式。
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| （3）第三范式（3NF）：如果关系模式R是1NF，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选码，则称R是3NF。
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| （4）BC范式（BCNF）：若关系模式R是1NF，且每个属性都不传递依赖于R的候选键，那么称R是BCNF模式。
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| 上述四种范式之间有如下联系：1NF?2NF?3NF?BCNF。
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| 如果某关系模式存在存储异常问题，则可通过分解该关系模式来解决问题。把一个关系模式分解成几个子关系模式，需要考虑的是该分解是否保持函数依赖，是否是无损联接。
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| 无损联接分解的形式定义如下：设R是一个关系模式，F是R上的一个函数依赖（FD）集。R分解成数据库模式δ={R1，…，RK}。如果对R中每一个满足F的关系r都有下式成立：
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| 那么称分解δ相对于F是无损联接分解，否则称为损失联接分解。
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| 设ρ={R1，R2）是R的一个分解，F是R上的FD集，那么分解ρ相对于F是无损分解的充分必要条件是：（R1∩R2）→（R1-R2）或（R1∩R2）→（R2-R1）。
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| 设数据库模式δ={R1，…，RK}是关系模式R的一个分解，F是R上的FD集，δ中每个模式Ri上的FD集是Fi。如果{F1，F2，…，Fk}与F是等价的（即相互逻辑蕴涵），那么我们称分解δ保持FD。如果分解不能保持FD，那么δ的实例上的值就可能有违反FD的现象。
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