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  第4题      
  知识点:   递归式   第一层   结构性   排列

 
阅读下列说明和C代码,回答问题1至问题3,将解答写在答题纸的对应栏内。
【说明】
在一块电路板的上下两端分别有n个接线柱。根据电路设计,用(i,π(i))表示将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连,称其为该电路板上的第i条连线。如图4-1所示的π(i)排列为{8,7,4,2,5,1,9,3,10,6}。对于任何1≤i<j≤n,第i条连线和第j条连线相交的充要条件是π(i)>π(j)。

在制作电路板时,要求将这n条连线分布到若干绝缘层上,在同一层上的连线不相交。现在要确定将哪些连线安排在一层上,使得该层上有尽可能多的连线,即确定连线集Nets={(i,π(i)),1≤i≤n}的最大不相交子集。
【分析问题】
记N(i,j)={t|(t,π(t))∈Nets,t≤i,π(t)≤j}。N(i,j)的最大不相交子集为MNS(i,j),size(i,j)=|MNS(i,j)|。
经分析,该问题具有最优子结构性质。对规模为n的电路布线问题,可以构造如下递归式:

【C代码】
下面是算法的C语言实现。
(1)变量说明
size[i][j]:上下端分别有i个和j个接线柱的电路板的第一层最大不相交连接数
pi[i]:π(i),下标从1开始
(2)C程序

 
问题:4.1   根据以上说明和C代码,填充C代码中的空(1)~(3)。
 
问题:4.2   根据题干说明和以上C代码,算法采用了(4)算法设计策略。函数maxNum和constructSet的时间复杂度分别为(5)和(6)(用O表示)”
 
问题:4.3   若连接排列为{8,7,4,2,5,1,9,3,10,6},即如图4-1所示,则最大不相交连接数为(7),包含的连线为(8)(用(i,π(i))的形式给出)。
 
 
 

   知识点讲解    
   · 递归式    · 第一层    · 结构性    · 排列
 
       递归式
        从算法的结构上看,算法可以分为非递归形式和递归形式。非递归算法的时间复杂度分析较简单,本小节主要讨论递归算法的时间复杂度分析方法。
        (1)展开法。将递归式中等式右边的项根据递归式进行替换,称为展开。展开后的项被再次展开,如此下去,直至得到一个求和表达式及其结果。
        (2)代换法。这一名称来源于当归纳假设用较小值时,用所猜测的值代替函数的解。用代换法解递归式时需要两个步骤:猜测解的形式;用数学归纳法找出使解真正有效的常数。
        (3)递归树法。递归树法弥补了代换法猜测困难的缺点,它适于提供"好"的猜测,然后用代换法证明。在递归树中,每一个节点都代表递归函数调用集合中每一个子问题的代价。将树中每一层内的代价相加得到一个每层代价的集合,再将每层的代价相加得到递归式所有层次的总代价。当用递归式表示分治算法的时间复杂度时,递归树的方法尤其有用。
        (4)主方法。也称为主定理,给出求解以下形式的递归式的快速方法,即
        T(n)=aT(n/b)+f(n)
        式中,a≥1和b>1是常数;f(n)是一个渐进的正函数。
 
       第一层
        第一层是浏览器(Browser)层,该层又称为客户(Client)层,它由客户机上的浏览器组成,是一种用户逻辑层,负责与客户互联。
 
       结构性
        界面设计应该有结构和层次,避免在同一个界面上堆积过多内容。使用不同的界面安排不同的知识,可突出不同的分主题,有利于用户快速理解和接收界面所包含的内容。
 
       排列
        设S为具有n个不同元素的n元集,从S中选取r个元素且考虑其顺序称为S的一个r排列,不同排列的总数记为,有时也用P(nr)表示。如果r=n,则称这个排列为S的全排列。从排列的定义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同。
        
        例子1:用0~9这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?
        解法1:由于百位数上的数字不能为0,因此可先考虑排百位上的数字,再排十位和个位上的数字。百位数上的数字只能从除0以外的1~9数字中任选一个,有种;十位和个位上的数字,可以从余下的9个数字中任选两个,有种。根据乘法原理,所求的三位数的个数是
        解法2:可先考虑从0~9这十个数字中任取三个数字的排列数(),再减去其中以0开头的排列数()。因此,所求的三位数的个数是
        解法3:符合条件的三位数可以分为三类:每一位数字都不是0的三位数有个;个位数是0的三位数有个;十位数是0的三位数有个。根据加法原理,符合条件的三位数个数是
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