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Armstrong公理系统


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Armstrong公理系统

Armstrong公理系统（或称函数依赖的公理系统）：设关系模式R（U，F），其中U为属性集，F是U上的一组函数依赖，那么有如下推理规则：

（1）A1自反律：若

，则X→Y为F所蕴涵。

（2）A2增广律：若X→Y为F所蕴涵，且

，则XZ→YZ为F所蕴涵。

（3）A3传递律：若X→Y，Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F所蕴涵。

根据上述三条推理规则又可推出下述三条推理规则：

（1）合并规则：若X→Y，X→Z，则X→YZ为F所蕴涵。

（2）伪传递率：若X→Y，WY→Z，则XW→Z为F所蕴涵。

（3）分解规则：若X→Y，

，则Ⅹ→Z为F所蕴涵。

引理：X→A₁A₂…A_k成立的充分必要的条件是X→A_i成立（i=1，2，3，…，k）。证明略。

函数依赖的闭包F⁺及属性的闭包

函数依赖的闭包F⁺

【定义7.16】关系模式R（U，F）中为F所逻辑蕴含的函数依赖的全体称为F的闭包，记为：F⁺。

属性的闭包

【定义7.17】设F为属性集U上的一组函数依赖，

，

能由F根据Armstrong公理导出｝，则称

为属性集X关于函数依赖集F的闭包。

算法：求属性的闭包

。

输入：X，F。

输出：

。

步骤：

①令X^（0）=X，I=0

②求B，

③X^（ⁱ^+1）=B∪ X^（ⁱ^）

④X^（ⁱ^+1）=X^（ⁱ^）？

⑤若相等，或X^（ⁱ^）=U，则X^（i）为属性集X关于函数依赖集F的闭包。且算法终止。

⑥若不相等，则i=i+1，返回②。

候选码的求解方法

给定一个关系模式R（U，F），U=｛A₁，A₂，…，A_n｝，F是R的函数依赖集，那么，可以将属性分为如下四类：

.L：仅出现在函数依赖集F左部的属性。

.R：仅出现在函数依赖集F右部的属性。

.LR：在函数依赖集F左右部都出现的属性。

.NLR：在函数依赖集F左右部都未出现的属性。

根据候选码的特性，对于给定一个关系模式R（U，F），可以得出如下结论：

结论1：若

是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员。若

，则X必为R的唯一候选码。

结论2：若

是R类属性，则X不是R的任一候选码的成员。

结论3：若

是NLR类属性，则X必为R的任一候选码的成员。

结论4：若

是L类和NLR类属性组成的属性集，若

，则X必为R的唯一候选码。

最小函数依赖集

【定义7.18】如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为一个最小函数依赖集，或称极小函数依赖集或最小覆盖。

（1）F中的任一函数依赖的右部仅有一个属性，即无多余的属性。

（2）F中不存在这样的函数依赖X→A，使得F与F-｛X→A｝等价，即无多余的函数依赖。

（3）F中不存在这样的函数依赖X→A，X有真子集Z使得F与F-｛X→A｝∪｛Z→A｝等价，即去掉各函数依赖左边的多余属性。


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